自然数の和と積の間の法則の解明を目指して

 自然数の一つ、例えば2は、特別な意味を持つ、と言われてもピンとこない人がほとんどかもしれない。それはどの自然数も所詮は1を複数回足して得られるという事実に起因する。しかし掛け算についても同様のことを考えると、そう単純でない事に気付く。実際、掛け算において前述した1の様な役割を果たすものは素数 2,3,5,7,… であり、これらは無数に存在する。整数とその近代化を扱う整数論の目的は、和と積の間に潜む法則を発見し解き明かすことといえる。私が興味を持っているのは同じ自然数を繰り返し掛けて得られる累乗数 1,4,8,9,16,… である。特にそれらのうちの二つの和が再び累乗数となる現象がいつ起こりうるのかを解明したいと考えている。この問題は古代から多くの数学者の興味を引いてきたもので、その発生源は、誰もが中学校で学ぶ三平方の定理の学習にも現れる 32+42=52 である。この様な平方数間の式は他にもあるだろうか?実はいくらでも多くの例を見つけることが出来る。さて次の問題として、前述の(平方数)を(n乗数)に置き換えてみる。これは有名な数学者フェルマーによって提出された問題で、多くの人の努力によって既に解かれている。では次は、と考えていくと最終的にはどこに辿り着くだろうか?それは式 ap+bq=cr を満たす自然数 a,b,c,p,q,r を全て求めることとなる。これが前述した私の解決したい研究テーマである。